0 Macam-Macam Rumus Matematika SMA

Posted by Blogger Name. Category: SMA , UN Matematika

1. Matriks 

Matriks adalah kumpulan bilangan atau unsur yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. Banyak baris x banyak suatu kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks. 

Secara umum matriks dapat ditulis dengan : 

 

Dalam hal ini a_ij disebut elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j. 

2. Beberapa Jenis Matriks

(i) Matriks Nol (0)

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.

(ii) Matriks bujur sangkar

Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

(iii) Matriks Bujur sangkar 

Adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. 

 

(iv) Matriks Diagonal 

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar elemen diagonal utama bernilai nol.

(v) Matriks Identitas
Adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. 

(vi) Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

(vii) Matriks Segitiga Bawah
Adalah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai nol.


3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan atau pengurangan matriks

Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordo A = ordo B

b. Perkalian Matriks dengan Skalar Jika Skalar dikalikan dengan matriks, maka akan diperoleh sebuah matriks yang elemen- elemennya merupakan perkalian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks. 
 
 
Sifat-sifat:


c. Perkalian Dua Matriks
Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan).

Jika diketahui Matriks A_mxn dan B_nxk maka : 



4. Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Tranpos dari matriks A dinotasikan dengan A^T atau A^t. 

Sifat : (A^T) ^T = A

5. Determinan Matriks
Matriks yang mempunyai determinan hanyalah matriks bujur sangkar (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom). 


Sifat-sifat determinan matriks:



6. Invers matriks
Bila  maka invers dari A adalah :

Syarat ad-bc  0

Contoh :  

Jawab: 

 

Sifat-sifat : 

VEKTOR

1. Pengertian vektor 

 

Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan : 

 

Atau dapat juga dinyatakan sebagai :  

Dimana  adalah vektor satuan. 

2. Panjang Vektor 

Jika titik A (x₁,y₁,z₁) dan B (x₂,y2,z2) maka vektor AB adalah : 

 

 

 

 

3. Vektor Satuan 

Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Jika vektor  maka vektor satuan dari a adalah: 

 

4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar 

a. Penjumlahan atau pengurangan vektor 

 

Contoh : 

Diketahui vektor  Nilai  

Jawab : 

 

 

b. Perkalian Skalar dengan vektor 

 

5. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor 

a. Perkalian Skalar 

 

b. Cross Product 

 

 

 

 

 

 

 

 

d. Rumus Pembagian 

 

 

Contoh : Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili  adalah : 

Jawab : 

 

PERSAMAAN LINGKARAN

Persamaan Lingkaran Garis Singgung 

A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r. 

 

Dari gambar, diperoleh persamaan : OP = r 

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di O dan berjari-jari r , yaitu : 

Suatu titik A dikatakan : a. Terletak pada lingkaran   

b. Terletak di dalam lingkaran  

c. Terletak di luar lingkaran  

B. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P (a, b) dan berjari-jari r. 

Gambar di atas adalah sebuah lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r. Titik Q (x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran. 

Dari gambar diperoleh persamaan : PQ = r 

 

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di P (a, b) dan berjari-jari r, yaitu :

Suatu titik A dikatakan : a. Terletak pada lingkaran  

b. Terletak di dalam lingkaran  

c. Terletak di luar lingkaran  

C. Persamaan Umum Lingkaran 

Bila kita menjabarkan persamaan : 

 

Dan mengatur kembali suku-sukunya, maka akan diperoleh :

Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan dengan :  

Dengan : 

 

 

Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di dan berjari-jari  

D. Persamaan garis singgung lingkaran 

1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik lingkaran 

* Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran ditentukan dengan rumus  

* Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran  

dinyatakan dengan rumus :  

*Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran dinyatakan dengan rumus :  

2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui. 

* Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran  , maka persamaan garis singgungnya adalah : 

* Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran  

Maka persamaan garis singgungnya :  

3. Garis singgung melalui sebuah titik diluar lingkaran Dari suatu titik P yang terletak di luar garis lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.

Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P terletak di luar garis lingkaran adalah : 

Langkah menentukan gradien ( m ) untuk persamaan (10) adalah sebagai berikut : 

1. Substitusikan persamaan ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat. 

2. Dengan mengambil nilai D=0 , maka dipetoleh nilai m.

 

LOGARITMA

Logaritma merupakan fungsi invers dari eksponen. 

Dengan a = bilangan pokok ,  yang merupakan invers (cerminan dari f(x) terhadap garis y = b) dari fungsi eksponen  , sehingga mempunyai invers . 

I. Sifat-sifat Logaritma

a. Sifat Perkalian Logaritma

Perkalian logaritma samadengan penjumlahan logaritma dengan basis tetap.

b.Sifat Pembagian Logaritma

Jika hasil logaritma merupakan pembagian,hasilnya dapat diuraikan menjadi operasi pengurangan bilangan logaritma dengan basis tetap.

.

c. Sifat Perpangkatan Logaritma

Hasil operasi berupa bilangan logaritma berpangkat, dapat diuraikan sbb:

d. Sifat Penarikan Akar

Jika ada hasil operasi logaritma yang berbentuk akar, ubahlah terlebih dahulu menjadi bentuk pangkat untuk mempermudah penyelesaianya.

Beberapa Sifat Logaritma yang lain:

 

II. Persamaan Logaritma

III. Pertidaksamaan Logaritma

 

STATISTIK

A. Ukuran Pemusatan Data

1. Rataan Hitung (Mean)

Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

a) Rataan Hitung dari Data Tunggal

b) Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi

Dengan : f_ix_i = frekuensi untuk nilai x_i yang bersesuaian

x_i = data ke-i

c) Rataan Hitung Gabungan

2. Modus

a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi tertinggi. Modus dilambangkan m_o .

b. Data yang telah dikelompokkan

Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus:

Dengan : Mo = Modus

L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas

b₁ = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya

b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

3. Median (Nilai Tengah)

a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompookan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar.

b) Data yang Dikelompokkan

Dengan : Q_j = Kuartil ke-j

j = 1, 2, 3

i = Interval kelas

L_j = Tepi bawah kelas Q_j

fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Q_j

f = Frekuensi kelas Q_j

n = Banyak data

4. Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

5. Simpangan Quartil (Q_d)

6. Simpangan baku ( S )

7. Simpangan rata – rata (S_R)

8. Ragam (R)

Contoh soal

Tabel 1.1 dibawah ini:

Jawab :

sumber

Tweet

Komentar →