Profesor Math sedang meneliti logam X yang baru saja ditemukan oleh sahabatnya di luar angkasa. Oleh Profesor Math, logam ini dibentuk sedemikian rupa sehingga menyerupai kelereng. Setelah dilakukan beberapa kali percobaan menjatuhkan logam tersebut, ternyata menghasilkan suatu kejadian yang sama, yaitu bola tersebut akan memantul ke atas sejauh setengah kali jarak sebelumnya. Untuk keperluan penelitiannya, Profesor Math ingin mengukur panjang keseluruhan lintasan yang ditempuh logam X dari awal logam tersebut dijatuhkan, dari ketinggian 1 m, sampai logam tersebut diam di tanah (tidak memantul). Dapatkah kamu membantu Profesor Math untuk menghitung panjang lintasan logam X tersebut?
Untuk menghitung panjang lintasan yang dilalui oleh logam X tersebut, sebaiknya kita bagi lintasannya menjadi 2 bagian, yaitu lintasan ke bawah, S1, dan lintasan ke atas, S2. Karena posisi awal logam X berada di atas sejauh 1 m dari tanah dan panjang lintasannya selalu setengah dari panjang lintasan sebelumnya, maka
S1 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …
Sedangkan panjang lintasan ke atasnya, mulai dari 1/2 meter.
S2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
Dari kedua persamaan di atas dapat diperhatikan bahwa S1 = 1 + S2. Sehingga panjang keseluruhan lintasannya adalah S = S1 + S2 = (1 + S2) + S2 = 1 + 2S2. Oleh karena itu, kita cari terlebih dahulu nilai dari S2, yaitu panjang keseluruhan lintasan ke atas. Bagaimana cara menghitung nilai dari S2 tersebut?
Gambar di atas merupakan gambar alat peraga dalam menemukan S2. Alat peraga tersebut bisa dibuat dari kertas karton, yang dibentuk menjadi beberapa bangun segiempat yang luasnya 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, dan 1/64 satuan luas. Apabila segiempat-segiempat yang berwarna kuning tersebut diletakkan pada segiempat putih (yang memiliki luas 1 satuan luas) di sebelah kiri, maka akan menjadi seperti berikut.
Apabila kita buat kotak-kotak lagi yang luasnya 1/128, 1/256, 1/512, …, maka seluruh kotak-kotak tersebut akan memenuhi segiempat putih. Dari sini, apa yang dapat kita simpulkan?
Dari alat peraga di atas dapat diperoleh bahwa, S2 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = 1. Sehingga S = S1 + S2 = (1 + S2) + S2 = 1 + 2S2 = 1 + 2 × 1 = 1 + 2 = 3. Jadi, panjang keseluruhan lintasan yang ditempuh oleh logam X adalah 3 meter.
Selain deret di atas, masih terdapat deret tak terhingga lainnya yang memiliki nilai tertentu. Deret tersebut adalah 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … dan 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + …. Coba tebaklah berapa nilai dari kedua deret tersebut. Untuk mengetahui nilai dari kedua deret tersebut, mari kita lihat alat peraga yang menggambarkan kedua deret tersebut.
Perhatikan gambar (i). Kotak-kotak warna merah menunjukkan penjumlahan dari 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + …. Sedangkan kotak-kotak warna kuning luasnya sama dengan kotak-kotak warna merah. Apabila seluruh kotak warna merah dan kuning dijumlahkan maka akan menghasilkan kotak yang luasnya 1 satuan luas. Sehingga luas kotak warna merah adalah 1/2 satuan luas. Diperoleh, 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … = 1/2. Dengan penjelasan yang hampir sama pada gambar sebelah kanan, diperoleh 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + … = 1/3.
Dari ketiga alat peraga di atas, dapat ditarik kesimpulan seperti berikut.
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = 11/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + … = 1/21/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + 1/1.024 + … = 1/3
Apabila ingin mengetahui pembuktian dari ketiga persamaan di atas, silahkan klik di sini. Semoga bermanfaat,
0 comments:
Post a Comment