Soal 1: Menerapkan Karakteristik Hiperbola—Lintasan dari Suatu Komet
Komet-komet yang memiliki kecepatan yang sangat tinggi tidak dapat dipengaruhi oleh gravitasi matahari, dan akan mengitari matahari dengan lintasan berbentuk hiperbola dengan matahari sebagai salah satu titik fokusnya. Jika lintasan komet yang diilustrasikan oleh gambar di bawah dapat dimodelkan oleh persamaan 2.116x2 – 400y2 = 846.400, seberapa dekatkah komet tersebut dengan matahari? Anggap satuannya dalam jutaan mil.
Pembahasan Pada dasarnya, dalam permasalahan ini kita diminta untuk menentukan jarak antara fokus dengan titik puncak hiperbola. Dengan menuliskan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk standar,
Sehingga, kita peroleh p = 20 (p2 = 400) dan q = 46 (q2 = 2.116). Dengan menggunakan persamaan fokus untuk menentukan f dan f2, kita mendapatkan,
Karena p = 20 dan |f| = 50, jarak komet tersebut dengan matahari adalah 50 – 20 = 30 juta mil atau sekitar 4,83 × 107 kilometer.
Soal 2: Lokasi dari Suatu Badai
Dua orang ahli meteorologi melihat badai dari tempat mereka tinggal. Tempat tinggal dua orang ahli meteorologi tersebut berjarak 4 km (4.000 m). Ahli meteorologi pertama, yang jaraknya lebih jauh dari badai, mendengar suara petir 9 detik setelah ahli meteorologi kedua. Jika kecepatan suara 340 m/s, tentukan persamaan yang dapat memodelkan lokasi dari badai tersebut.
Pembahasan Misalkan M1 merupakan ahli meteorologi pertama dan M2 merupakan ahli meteorologi kedua. Karena M1 mendengar petir 9 detik setelah M2, maka lokasi M1, 9 ∙ 340 = 3.060 m lebih jauh dari M1 terhadap lokasi badai. Atau apabila disimbolkan, |M1S| – |M2S| = 3.060. Himpunan semua titik S yang sesuai dengan persamaan ini akan membentuk suatu grafik hiperbola, dan kita akan menggunakan fakta ini untuk membangun suatu persamaan yang memodelkan semua kemungkinan dari lokasi badai tersebut. Selanjutnya, mari kita gambar informasi-informasi di atas pada koordinat Cartesius sehingga M1 dan M2 terletak pada sumbu-x dan titik asal (0, 0) kita buat sebagai pusatnya.
Dengan selisih konstannya 3.060, kita mendapatkan 2p = 3.060 sehingga p = 1.530. Karena jarak antara M1 dan M2 adalah 4.000, maka jarak antara pusat dengan M1 atau M2adalah f = 1/2 ∙ 4.000 = 2.000. Dengan menggunakan persamaan fokus, kita mendapatkan
Sehingga, persamaan lokasi dari badai tersebut adalah
0 comments:
Post a Comment